Esta es una introducción básica, aunque esperemos que bastante completa, para trabajar con vectores. Los vectores se manifiestan en una amplia variedad de formas, desde el desplazamiento, la velocidad y la aceleración hasta las fuerzas y los campos. Este artículo está dedicado a las matemáticas de los vectores; su aplicación en situaciones específicas se abordará en otro lugar.
Vectores y escalares
Una cantidad vectorial, o vector, proporciona información no solo sobre la magnitud sino también sobre la dirección de la cantidad. Al dar indicaciones para llegar a una casa, no es suficiente decir que está a 10 millas de distancia, sino que también se debe proporcionar la dirección de esas 10 millas para que la información sea útil. Las variables que son vectores se indicarán con una variable en negrita, aunque es común ver los vectores indicados con flechas pequeñas encima de la variable.
Así como no decimos que la otra casa está a -10 millas de distancia, la magnitud de un vector es siempre un número positivo, o más bien el valor absoluto de la «longitud» del vector (aunque la cantidad puede no ser una longitud, puede ser una velocidad, aceleración, fuerza, etc.) Un negativo delante de un vector no indica un cambio en la magnitud, sino en la dirección del vector.
En los ejemplos anteriores, la distancia es la cantidad escalar (10 millas) pero el desplazamiento es la cantidad vectorial (10 millas al noreste). De manera similar, la velocidad es una cantidad escalar mientras que la velocidad es una cantidad vectorial.
Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de uno. Un vector que representa un vector unitario también suele estar en negrita, aunque tendrá un quilate ( ^ ) encima para indicar la naturaleza unitaria de la variable. El vector unitario x, cuando se escribe con un quilate, generalmente se lee como «x-hat» porque el quilate se parece a un sombrero en la variable.
El vector cero, o vector nulo, es un vector de magnitud cero. Está escrito como 0 en este artículo.
Componentes vectoriales
Los vectores generalmente se orientan en un sistema de coordenadas, el más popular de los cuales es el plano cartesiano bidimensional. El plano cartesiano tiene un eje horizontal etiquetado como x y un eje vertical etiquetado como y. Algunas aplicaciones avanzadas de vectores en física requieren el uso de un espacio tridimensional, en el que los ejes son x, y y z. Este artículo se ocupará principalmente del sistema bidimensional, aunque los conceptos se pueden ampliar con cierto cuidado a tres dimensiones sin demasiados problemas.
Los vectores en sistemas de coordenadas de múltiples dimensiones se pueden dividir en sus vectores componentes. En el caso de dos dimensiones, esto resulta en una componente x y una componente y. Al dividir un vector en sus componentes, el vector es una suma de los componentes:
F = F x + F y
theta F x F y FF x / F = cos theta y F y / F = sin
theta lo que nos da
F x = F cos theta y F y = F sin theta
Tenga en cuenta que los números aquí son las magnitudes de los vectores. Conocemos la dirección de los componentes, pero estamos tratando de encontrar su magnitud, por lo que eliminamos la información direccional y realizamos estos cálculos escalares para averiguar la magnitud. Se puede usar una mayor aplicación de la trigonometría para encontrar otras relaciones (como la tangente) relacionadas entre algunas de estas cantidades, pero creo que eso es suficiente por ahora.
Durante muchos años, las únicas matemáticas que aprende un estudiante son las matemáticas escalares. Si viaja 5 millas al norte y 5 millas al este, ha viajado 10 millas. La adición de cantidades escalares ignora toda la información sobre las direcciones. Los vectores se manipulan de forma algo diferente. Siempre hay que tener en cuenta la dirección a la hora de manipularlos.
Agregar componentes
Cuando agrega dos vectores, es como si tomara los vectores y los colocara de un extremo a otro y creara un nuevo vector que va desde el punto de inicio hasta el punto final. Si los vectores tienen la misma dirección, esto solo significa sumar las magnitudes, pero si tienen diferentes direcciones, puede volverse más complejo.
Agrega vectores dividiéndolos en sus componentes y luego agregando los componentes, como se muestra a continuación:
a + b = c
a x + a y + b x + b y =
( a x + b x ) + ( a y + b y ) = c x + c y
Los dos componentes x resultarán en el componente x de la nueva variable, mientras que los dos componentes y darán como resultado el componente y de la nueva variable.
Propiedades de la suma de vectores
No importa el orden en el que agregue los vectores. De hecho, varias propiedades de la suma escalar se mantienen para la suma vectorial:
Propiedad de identidad de la suma de vectores
a + 0 = una
propiedad inversa de la suma de vectores
a + – a = a – a = 0
Propiedad reflectante de la suma de vectores
a = una
propiedad conmutativa de la suma de vectores
a + b = b +
Propiedad transitiva de la suma de vectores
Si a = b y c = b , entonces a = c
una
propiedad asociativa de la suma de vectores
( a + b ) + c = a + ( b + c )
La operación más simple que se puede realizar en un vector es multiplicarlo por un escalar. Esta multiplicación escalar altera la magnitud del vector. En otras palabras, hace que el vector sea más largo o más corto.
Al multiplicar por un escalar negativo, el vector resultante apuntará en la dirección opuesta.
El producto escalar de dos vectores es una forma de multiplicarlos para obtener una cantidad escalar. Esto se escribe como una multiplicación de los dos vectores, con un punto en el medio que representa la multiplicación. Como tal, a menudo se le llama producto escalar de dos vectores.
Para calcular el producto escalar de dos vectores, considera el ángulo entre ellos. En otras palabras, si compartieran el mismo punto de partida, cuál sería la medida del ángulo ( theta ) entre ellos. El producto escalar se define como:
a * b = ab cos theta ab abba
En los casos en que los vectores son perpendiculares (o theta = 90 grados), cos theta será cero. Por lo tanto, el producto escalar de los vectores perpendiculares es siempre cero . Cuando los vectores son paralelos (o theta = 0 grados), cos theta es 1, por lo que el producto escalar es solo el producto de las magnitudes.
Estos pequeños hechos ingeniosos se pueden usar para demostrar que, si conoce los componentes, puede eliminar la necesidad de theta por completo con la ecuación (bidimensional):
a * b = a x b x + a y b y
El producto vectorial se escribe en la forma a x b , y generalmente se denomina producto cruzado de dos vectores. En este caso, estamos multiplicando los vectores y en lugar de obtener una cantidad escalar, obtendremos una cantidad vectorial. Este es el más complicado de los cálculos vectoriales con los que nos ocuparemos, ya que no es conmutativo e implica el uso de la temida regla de la mano derecha , a la que llegaré en breve.
Calculando la Magnitud
Nuevamente, consideramos dos vectores dibujados desde el mismo punto, con el ángulo theta entre ellos. Siempre tomamos el ángulo más pequeño, por lo que theta siempre estará en un rango de 0 a 180 y el resultado, por lo tanto, nunca será negativo. La magnitud del vector resultante se determina de la siguiente manera:
Si c = a x b , entonces c = ab sin theta
El producto vectorial de vectores paralelos (o antiparalelos) es siempre cero
Dirección del vector
El producto vectorial será perpendicular al plano creado a partir de esos dos vectores. Si imagina el plano como si estuviera plano sobre una mesa, la pregunta es si el vector resultante sube (nuestro «fuera» de la mesa, desde nuestra perspectiva) o hacia abajo (o «dentro» de la mesa, desde nuestra perspectiva).
La temida regla de la mano derecha
Para resolver esto, debe aplicar lo que se llama la regla de la mano derecha . Cuando estudié física en la escuela, detestaba la regla de la mano derecha. Cada vez que lo usaba, tenía que sacar el libro para ver cómo funcionaba. Con suerte, mi descripción será un poco más intuitiva que la que me presentaron.
Si tiene a x b , colocará su mano derecha a lo largo de b para que sus dedos (excepto el pulgar) puedan curvarse para apuntar a lo largo de a . En otras palabras, estás tratando de hacer el ángulo theta entre la palma y los cuatro dedos de tu mano derecha.
El pulgar, en este caso, estará pegado hacia arriba (o fuera de la pantalla, si intentas hacerlo hacia la computadora). Tus nudillos estarán alineados aproximadamente con el punto de partida de los dos vectores. La precisión no es esencial, pero quiero que se haga una idea, ya que no tengo una imagen de esto para proporcionar.
Sin embargo, si está considerando b x a, hará lo contrario. Va a poner su mano derecha a lo largo de una y apuntar con los dedos a lo largo b. Si intenta hacer esto en la pantalla de la computadora, le resultará imposible, así que use su imaginación. Verá que, en este caso, su pulgar imaginativo apunta a la pantalla de la computadora. Esa es la dirección del vector resultante.
La regla de la derecha muestra la siguiente relación:
a x b = – b x a
cabc
c x = una y segundo z – una z segundo y
c y = una z segundo x – una x segundo z
c z = una x segundo y – una y segundo x
ab c x c y c
Conclusiones
En niveles más altos, trabajar con vectores puede volverse extremadamente complejo. Cursos completos en la universidad, como álgebra lineal, dedican mucho tiempo a matrices (que evité amablemente en esta introducción), vectores y espacios vectoriales.
Ese nivel de detalle está más allá del alcance de este artículo, pero esto debería proporcionar las bases necesarias para la mayor parte de la manipulación de vectores que se realiza en el aula de física. Si tiene la intención de estudiar física con mayor profundidad, se le presentarán los conceptos vectoriales más complejos a medida que avance en su educación.
